فلسفه وجودی نقطه شکست

[malaka]

سلام دوستان
چند تا سوال بنیادی تو قسمت مکان هندس ریشه ها برام به وجود اومد

اینکه چرا ما بین دو قطب نقطه شکست داریم؟
اینکه بهره در قطب صفر و در صفر بی نهایت میشه یعنی جی؟
تعربف نقطه شکست رو اینگونه می نویسیم
نقطه شکست نقطه ای از صفحه s است که در آن معادله مشخصه ریشه مکرر دارد
مگه ریشه معادله مشخصه رو بدست نمیاریم اونوقت از کجا ریشه مکرر دارد؟

نقطه شکست نقطه ای است که توش dk/ds=0 باشند این فرآیند تعقیرات بهره به s چه شکلی است که تو یک تقطه تعقیراتشون صفر میشه؟

[mojalan]

پاسخ : فلسفه وجودی نقطه شکست

1- مکان هندسی ریشه ها : یعنی اینکه ریشه ها کجا هستند در فضای S
2- توجه داشته باشید که ما مکان ریشه های معادله مشخصه( 0=1+GH )رو از GH (تابع تبدیل حلقه باز ) داریم بدست میاریم
3- مکان هندسی یعنی جای ریشه های معادله مشخصه به ازای بهره k=0 در مکان هندسی قطب های GH (تابع تبدیل حلقه باز)قرار داره. توجه کنید که اگه GH رو بدون K در نظر بگیریم به ازای K=0 مقدار KGH باید بشه -1 و در نتیجه چون K=0 باید مقدار GH=Inf تا حالت مبهم 0*Inf رو بشه برابر با -1 کرد یا بهتر بگم معادله KGH=-1 جواب داشته باشه
4- همینطور مکان ریشه های معادله مشخصه به ازای k=Inf بر روی صفرهای GH می افته.(عین فلسفه بالا چون KGH=-1 و K=Inf پس باید GH=0 باشه تا معادله بالا جواب داشته باشه)
5- هر شاخه از مکان هندسی معادله مشخصه از یک قطب حلقه باز با K=0شروع و به یک صفر حلقه باز با K=Infختم میشه پس وقتی دو قطب روی محور حقیقی داریم از هر کدوم یه شاخه مکان هنسی شروع میشه. این شاخه ها در یک جایی باید به هم برسند (چون تمام اون قسمت از محور حقیقی روی مکان هندسی قرار داره). هر جاییکه به هم برسند یعنی دو تا از ریشه های معادله مشخصه افتادن روی هم ؛ یعنی اینکه به ازای K خاصی معادله مشخصه دو تا ریشه مضاعف داره
6- چون این دو شاخه قسمت 5 باید به سمت صفرهای بینهایت برن پس ناگزیر باید از محور حقیقی خارج بشند که میشه نقطه شکست و در محلی اتفاق میافته که معادله ریشه مضاعف دار
7- توجه داشته باشید که dK/ds=0 شرط لازم هست یعنی ممکنه K ای بدست بیاد که واقعا نقطه شکست نباشه (این K باید حقیقی و مثبت باشه بعلاوه اینکه S مربوط به اون هم روی مکان هندسی باشه)

[malaka]

پاسخ : فلسفه وجودی نقطه شکست

1- مکان هندسی ریشه ها : یعنی اینکه ریشه ها کجا هستند در فضای S
توجه داشته باشید که ما مکان ریشه های معادله مشخصه( 0=1+GH )رو از GH (تابع تبدیل حلقه باز ) داریم بدست میاریم

واسه چی از خود 1+GH بدست نمیاریم؟
اگر ما ریشه معادله مشخص حلقه بسته رو از طریق ریاضیات بدست بیاریم تونوقت میتونیم تو مکان هندسی مشخصش کنیم (بی خیال حلقه باز بشیم)؟؟

یه چیز دیگه اینکه ما با 0=k حرکت میکنیم و به k=inf میرسیم اگر وسط راه یه جای از مکان مثلا k=x اونجا می تونیم بگیم قطب ها و صفر ها چه وضیعتی دارن؟

مجانب چه به درد ما میخوره در مکان اینکه این تابع رو تا بی نهایت ادامه بده خوب چه سودی داره؟

ببخشید سوالها زیاد شد دیگه!!!

[mojalan]

پاسخ : فلسفه وجودی نقطه شکست

بله از خود معادله مشخصه با داشتن K میشه دقیقا مشخص کرد ریشه ها کجا هستند ولی این روش به این درد میخوره که رفتار مکان ریشه ها رو به ازای تغییر یک پارامتر حلقه بدونیم. چیکار میخوایم بکنیم؟
تو طراحی مدار کنترلرممون ازش استفاده میکنیم مثلا میفهمیم که به ازای بهره های بزرگ مدار ناپایدار میشه خب بهره رو کوچیک میگیرم یا یه جبرانساز براش در نظر میگیریم
شما دوست داری برو از خود 1+GH بدست بیار مرحوم ایوانس نشسته همچین راهی گذاشته جلو پامون واسه راحتی کار!!!
به ازای K=x شما در هر شاخه از مکان هندسی دقیقا یه نقطه پیدا میکنید (که اینو میشه با قرار دادن K=x از خود معادله مشخصه بدست آورد) و میتونی دقیقا بگی ریشه ها کجا هستند
K=Inf خب عزیز بهره بینهایت معادله با بهره های بسیار بزرگ که البته در دنیای واقعی هم وجود داره مثلا شما یه تقویت کننده میسازی با گین 100dB . مجانب نشون میده که رفتار مکان هندسی وقتی K به سمت اعداد مثبت بزرگ میره چه جوریه
ما مکان هندسی رو برای این لازم داریم که رفتار ریشه های معادله مشخصه رو به ازای تغییر یک پارامتر که میتونه بهره باشه بدونیم تا کنترل مناسبی روی اون داشته باشیم (اگه مشخصاتش مطلوب بود که هیچ وگرنه یه جوری عوضش کنیم)
ببخشید من این درس رو 10-12 سالی میشه پاس کردم بیشتر از این بلد نیستم الان

[malaka]

پاسخ : فلسفه وجودی نقطه شکست

مجانب نشون میده که رفتار مکان هندسی وقتی K به سمت اعداد مثبت بزرگ میره چه جوریه

خوب از خود مکان بدون مجانب نمیشه فهمید که با k به سمت بزرگ رفتن معادله مشخصه چه شکلی میشه

شما دوست داری برو از خود 1+GH بدست بیار مرحوم ایوانس نشسته همچین راهی گذاشته جلو پامون واسه راحتی کار!!!

ببخشید من این درس رو 10-12 سالی میشه پاس کردم بیشتر از این بلد نیستم الان

دادش ما چاکر شما و آقای واریانس هستیم :nice: :nice:
شما هم استادید

[mojalan]

پاسخ : فلسفه وجودی نقطه شکست

خب شما با یک K خیلی بزرگ ماکن ریشه ها رو بدست میاری تا اینجا درست اما چطور با یک نقطه میتونی بفهمی جهت حرکتش کدوم سمتیه!؟
شما باید برای حداقل دو K بزرگ (که این بزرگ بودن خودش جای سوال داره چون ممکنه 1000 واسه یه حلقه بزرگ باشه واسه یکی دیگه کوچیک) مکان ریشه ها رو بدست بیاری بعد با تقریب خط گذرنده از این دو نقطه رو مسیر حرکت ریشه ها در نظر بگیری
آخرش باز دعا کنی به جون ایوانس و بگی ایول بابا عجب روشی درست کردی!!

[malaka]

پاسخ : فلسفه وجودی نقطه شکست

خب شما با یک K خیلی بزرگ ممکن ریشه ها رو بدست میاری تا اینجا درست اما چطور با یک نقطه میتونی بفهمی جهت حرکتش کدوم سمتیه!؟

دادش فرضا ما اگه به ازای یک k دو تا جا تو مکان بدست آوردیم اونوقت با مجانب میتونیم میتونیم تشخیص پایداری بدیم؟
راستی اگه اینجوری شد چجوری تشخیص پایداری بدیم مثلا دو تا قطب مختلط مزدوج داشتیم که هر دو تا به ازای k بی نهایت به سمت صفرهای نامحدود میرن امکان داره با یک k دو تا مکان بدست بیاد؟ پایداریش چه شکلی میشه؟

آخرش باز دعا کنی به جون ایوانس و بگی ایول بابا عجب روشی درست کردی!!

خدایا ایوانس و ابنا ایوانس و اونهایی که مکان هندسی ریشه ها رو میخونن و اونی که ما می پرسیم و لطف میکنه جواب میده در این دنیا و اون دنیا عاقبت به خیر کن :rolleyes: :rolleyes:

[mojalan]

پاسخ : فلسفه وجودی نقطه شکست

خب و اما بحث شیرین پایداری
وقتی ریشه های معادله مشخصه به سمت راست محور موهومی برن (یعنی قسمت حقیقیشون مثبت باشه)سیستم ناپایداره پس اگه به ازائ هر kیی ما سمت راست ریشه داشته باشیم نباید K رو اونقدر بگیریم.
روی خود محور موهومی هم که سیستم نوسانی میشه
به جون خودم من همین قدر بلدم