تبدیل لاپلاس

[naali]

سلام.
چرا تبدیل لاپلاس که یک نگاشت هست باعث تبدیل حوزه زمان به فرکانس میشه. این همه نگاشت های مختلف میشه تعریف کرد ولی اونها این قابلیت رو ندارند چطور لاپلاس این قابلیت رو داره؟

با تشکر

[rezara]

پاسخ : تبدیل لاپلاس

شایدیه کم دیر باشه ولی جواب این سوال اینجاست که در تبدیل لاپلاس با توجه به انتگرالگیری که می کنیم در واقع میزان وجود نمایی های مختلف را در تابع مورد نظر بررسی میکنیم . در حالتی که این نمایی توانی از جنس مختلط داشته باشد همان فرکانس های سینوسی را تشکیل می دهد . پس در واقع تبدیل لاپلاس به ما میزان موجودیت فرکانس های مختلف را نشان می دهد . :nerd:

[sina6688]

پاسخ : تبدیل لاپلاس

ما نیاز به یک تبدیل فرکانسی داریم.
حال چه تبدیل لاپلاس و چه تبدیل فوریه. با تبدیل فوریه آشنا هستیم چون تبدیل فوریه همان سیگنال اما بر حسب فرکانس است به این خاطر که تبدیل فوریه زمان های گذشته و منفی را هم شامل میشود در حالی که در سیستم ها یک سیگنال تا قبل از زمان صفر و زمان های منفی ، مقدار آن صفر است از تبدیل لاپلاس استفاده میکنیم زیرا تبدیل فوریه را اگر از بازه صفر تا مثبت بینهایت به جای منفی بینهایت تا مثبت بینهایت محاسبه کنیم به همان تبدیل لاپلاس رسیده ایم.

اما اینکه کلا چرا از این تبدیل ها استفاده میشود شاید به این خاطر باشد که تابع e^-st برای سیستم های کنترل خطی ، یک تابع ویژه است. یعنی اگر این تابع را به ورودی بدهیم خروجی همین تابع ضربدر عددی ثابت (مقدار ویژه ) خواهد بود. البته این مقدار همان تبدیل لاپلاس تابع انتقال سیستم یا H(s می باشد که نسبت به متغیر t یک عدد ثابت یا همان مقدار ویژه خواهد بود.